O Homem que Calculava - Os Quatro Quatros

Nossa visita ao suque dos mercadores.

Beremiz e o turbante azul. O caso dos quatro quatros. O problema dos cinqüenta dinares.

Beremiz resolve o problema e recebe um belíssimo presente.

Alguns dias depois, encerrados os trabalhos que fazíamos no palácio do 

vizir, fomos dar um giro pelo suque1 e pelos jardins de Bagdá.

A cidade apresentava, naquela tarde, um movimento intenso, febril, fora do comum. É que, pela manhã, haviam chegado duas ricas caravanas de Damasco. No bazar dos sapateiros, por exemplo, mal se podia entrar; havia sacos e caixas com mercadorias, amontoados nos pátios das estalagens. Forasteiros damascenos, com imensos turbantes coloridos, ostentando nas cinturas suas armas, caminhavam descuidados, olhando com indiferença para os mercadores.

Sentia-se um cheiro forte de incenso, de quife2 e de especiarias. Vendedores de favas discutiam, quase se agrediam, proferindo pragas tremendas em sírio.

Um jovem guitarrista mossulense, sentado sobre grandes sacos de melancia, cantava uma toada monótona e triste:

“Que importa a vida da gente, Se a gente, por mal ou bem, Vai vivendo simplesmente A vida que a gente tem?”3

Vendedores, nas portas de suas tendas, apregoavam suas mercadorias, exaltando-as com elogios exagerados e fantasiosos, no que é fértil a imaginação dos árabes.

- Este rico tecido é digno do nosso emir!

- Amigos! Eis um delicioso perfume que lembra os carinhos de vossa esposa!

- Reparai, ó cheique, nestas chinelas e neste lindo cafetã4 que os djins5 recomendam aos anjos!

Interessou-se Beremiz por um elegante e harmonioso turbante azul-claro que um sírio, meio corcunda, oferecia por 4 dinares. A tenda desse mercador era, aliás, muito original, pois tudo ali (turbantes, caixas, punhais, pulseiras, etc.) era vendido por 4 dinares.

Havia um letreiro, em letras vistosas, que dizia: “OS QUATRO QUATROS”

Ao ver Beremiz interessado em adquirir o turbante azul, objetei:

- Julgo loucura comprar esse luxo. Estamos com pouco dinheiro e ainda não pagamos a hospedaria.

- Não é o turbante que me interessa – retorquiu Beremiz. – Repare que a tenda desse mercador é intitulada “Os Quatro Quatros”. Há nisso tudo espantosa coincidência digna de atenção.

- Coincidência? Por quê?

1 Suque ou suk – rua ou praça em que se localizavam as tendas, os bazares e as lojas dos mercadores.

2 Quife ou kif – produto tirado do cânhamo, que os árabes usam como fumo.

3 Trova de Anis Murad, poeta brasileiro (1904-1962).

4 Túnica debruada. Entre os persas era o “roupão” ou a “camisola”, que usavam habitualmente.

5 Gênios sobrenaturais benfazejos, em cuja existência os árabes acreditavam. Atualmente essa crendice só existe nas classes

incultas. Havia também os efrites que eram gênios maléficos.

- Ora bagdali – retorquiu Beremiz -, a legenda que figura nesse quadro recorda uma das maravilhas do Cálculo: podemos formar um número qualquer empregando quatro quatros!

E antes que eu o interrogasse sobre aquele enigma, Beremiz explicou, riscando na areia fina que cobria o chão:

- Quer formar o zero? Nada mais simples. Basta escrever: 44 − 44

- Estão aí quatro quatros formando uma expressão que é igual a zero.

Passemos ao número 1. Eis a forma mais cômoda:

44

44

- Representa essa fração, o quociente da divisão de 44 por 44. E esse quociente é 1. Quer ver agora, o número 2? Podem-se aproveitar facilmente os quatro quatros e escrever:

4

4

4

4 +

- A soma das duas frações é exatamente igual a 2. O três é mais fácil. Basta escrever a expressão:

4

4 + 4 + 4

- Repare que a soma 12, dividida por quatro, dá um quociente 3. Eis, portanto, o 3 formado por quatro quatros.

- E como vai formar o próprio número 4? – perguntei - Nada mais simples – explicou Beremiz – o 4 pode ser formado de várias maneiras diferentes. Eis uma expressão equivalente a 4:

- Observe que a segunda parcela .

4

4 − 4 , é nula, e que a soma fica igual a quatro. A expressão escrita equivale a 4+0, ou 4.

Notei que o mercador sírio acompanhava atento, sem perder palavra, a explicação de Beremiz, como se muito lhe interessassem aquelas expressões aritméticas formadas por quatro quatros.1

Beremiz prosseguiu:

Quero formar, por exemplo, o número 5. Não há dificuldade.

Escreveremos:

4

4 4 4

−

+

4

4x4 + 4

- Exprime esse arranjo numérico a divisão de 20 por 4. E o quociente é 5. Temos desse modo o 5 escrito como quatro quatros.

A seguir passemos ao 6, que apresenta uma forma muito elegante:

4

4

4 4 +

+

- Uma pequena alteração nesse interessante conjunto conduz ao resultado 7:

4

4

44 −

- É muito simples a forma que pode ser adotada para o número 8 escrito com quatro quatros:

4 + 4 + 4 − 4

- O número 9 não deixa de ser também interessante:

4

4 + 4 + 4

- Eis agora uma expressão muito elegante, igual a 10, formada com quatro quatros2:

4

44 − 4

Nesse momento o corcunda, dono da tenda, que estivera a acompanhar a explicação do calculista em atitude de respeitoso silêncio interesse, observou:

- Pelo que acabo de ouvir, o senhor é exímio nas contas e nos cálculos. Dar-lhe-ei de presente o belo turbante azul se souber explicar certo mistério encontrado numa soma, que há dois anos me tortura o espírito.

E o mercador narrou o seguinte:

- Emprestei certa vez a quantia de 100 dinares, sendo 50 a um cheique de Medina e outros 50 a um judeu do Cairo. O medinense pagou a dívida em quatro parcelas, do seguinte modo: 20, 15, 10 e 5. Assim:

1 Dada a natureza e a finalidade deste livro, admitimos o emprego de sinais matemáticos modernos. É evidente que na época em

que viveu Beremiz, a notação matemática era diferente. (Malba Tahan)

2 Com quatro quatros podemos escrever um número qualquer desde 0 até 100.

Pagou 20, ficou devendo 30

Pagou 15, ficou devendo 15

Pagou 10, ficou devendo 5

Pagou 5, ficou devendo 0

Soma 50 Soma 50

Repare, meu amigo que tanto a soma das quantias pagas como a dos saldos devedores são iguais a 50. O judeu cairota pagou, igualmente os 50 dinares em quatro prestações, do seguinte modo:

Pagou 20, ficou devendo 30

Pagou 18, ficou devendo 12

Pagou 3, ficou devendo 9

Pagou 9, ficou devendo 0

Soma 50 Soma 51

Convém observar agora que a primeira soma é 50 (como no caso anterior), ao passo que a outra dá um total de 51. Não sei explicar essa diferença de 1 que se observa na segunda forma de pagamento. Bem sei que não fui prejudicado (pois recebi o total da dívida), mas como justificar o fato de ser a segunda soma igual a 51 e não a 50?

- Meu amigo – esclareceu Beremiz -, isto se explica com poucas palavras.

Nas contas de pagamento, os saldos devedores não tem relação alguma com o total da dívida. Admitamos que uma dívida de 50 fosse paga em três prestações:

a primeira de 10, a segunda de 5 e a terceira de 35. Eis a conta, com os saldos:

Pagou 10, ficou devendo 40

Pagou 5, ficou devendo 35

Pagou 35, ficou devendo 0

Soma 50 Soma 75

Neste caso a primeira soma é ainda 50, ao passo que a soma dos saldos é como se vê 75; podia ser 80, 90, 100, 260, 800 ou um número qualquer. Só por acaso dará exatamente 50 (como no caso do cheique) ou 51 (como no caso do judeu).

O mercador alegrou-se por ter entendido a explicação dada por Beremiz e cumpriu a promessa feita, oferecendo ao calculista o turbante azul que valia quatro dinares.

Malba Tahan